determinacion de la transformada inversa usando los teoremas de heaviside

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside

La función escalón unitario o función de Heaviside




R se define como:





Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general H(t-a)=0 para t<a.

Determinacion de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

Evalúe la siguiente transformada de Laplace inversa utilizando las fracciones parciales


Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a), (s-a)2,…,(s-a)n.

Por consiguiente, con a= 3 y n= 2, la transformada anterior se escribe de la siguiente manera:



Al colocar los dos términos del lado derecho en un denominador común, se obtiene el numerador 2s+5=A(s-3)+B , y esta identidad produce A=2 y B=11
Por tanto se tiene:


Se obtiene la transformada de Laplace inversa

Propiedades de la transformada inversa

Propiedad de linealidad
Teorema. Si c1 & c2 son constantes arbitrarias y f1(s) & f2(s) son las transformadas de Laplace de F1(t) & F2(t) respectivamente, entonces:

Algunas transformadas inversas

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:
f(t)=L^-1 {F(S)}

 

L^-1 es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si a y B son constantes,

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que  L{f2(t)}=L{f2(t)}y, sin embargo, f1!= f2.

Tranformada Inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para Y(s), es decir, Y(s)=G(s). Ahora, como L{y(t)}=Y(s) si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución y(t) que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa L^-1{Y(s)}, para hallar la función

Si F(s) es la transformada de Laplace de una función continua f(t), es decir, L{f(t)}=F(s), entonces la transformada inversa de Laplace de F(s), escrita L^1{F(s)}  es f(t), es decir,L^1{F(s)}=f(t) y(t)

Transformada de Laplace de la funcion Delta Dirac

Para t0>0

 

Demostración
Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario  

De donde tenemos que

con lo cual

Funcion Delta Dirac

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una Distribucion (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

 La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:

 

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos: